Jegyzetek

 

 

 

 

 

 

1. fejezet

 

1. Az alábbi táblázat az 1.1 táblázat részletesebb változata, mely mindhárom család részecskéinek tömegét és kölcsönhatási töltéseit tartalmazza. Minden kvark az erős kölcsönhatásra jellemző' háromféle töltést hordozhat, melyeket hangzatosan színeknek neveznek - ezek a valóságban számszerű erős töltésértékeket jelölnek. A felsorolt gyenge töltések az ún. gyenge izospin „harmadik komponensei". (Nem soroltuk fel a „jobbkezes" részecskekomponenseket - melyek abban különböznek, hogy nincs gyenge töltésük.)

 

 

2. A húr két vége szabad is lehet (ún. nyitott húr). Ez nyilvánvalóan különbözik az 1.1 ábrán bemutatott zárt húrtól. Tárgyalásunkat megkönnyítendő, leginkább a zárt húrokra koncentrálunk, bár lényegében mindaz, amit elmondunk, mindkettőre érvényes.

 

3. Albert Einstein, 1942-ben egyik barátjának Irt levelében. Forrás: Tony Hey és Patrick Walters, Einstein's Mirror (Cambridge, Eng.: Cambridge University Press, 1997).

 

4. Steven Weinberg, Dreams ofa Final Theory (New York: Pantheon, 1992), 52. old.

 

5. Interjú Edward Wittennel, 1998. május 11.

 

2.fejezet

 

1. A nehéz testek jelenléte, mint a Földé is, bonyolítja a dolgokat a gravitációs erő megjelenése miatt. Mivel jelenleg a vízszintes mozgásra koncentrálunk - nem pedig a függőleges irányúra -, megtehetjük, hogy elhanyagoljuk a Föld jelenlétét. A következő fejezetben részletesen foglalkozunk majd a gravitációval is.

 

2. Pontosabban, a fénynek az, üres tér vákuumában mért sebessége 300 000 km/s. Ha a fény valamely közegen halad keresztül, mint a levegő vagy az üveg, sebessége ugyanúgy csökken, mint amikor a szikláról ledobott kő vízbe csobban. A fény sebességének ilyen csökkenése vákuumbeli értékéhez képest nincs hatással a relativitáselmélettel kapcsolatos tárgyalásunkra, így jogosan tekintünk el tőle a szövegben.

 

3. A matematikai érdeklődésű olvasó számára megjegyezzük, hogy ezek a megfigyelések kvantitatív állításokká alakíthatók. Példának okáért, ha a mozgó fényóra sebessége v és t másodpercre van szükség a foton egyetlen oda-vissza útjának megtételéhez (az álló helyzetű fényóra szerint), a foton alsó tükörhöz való visszaérkezéséig vt utat járt be. Ekkor Pitagorasz tételének segítségével kiszámolhatjuk a 2.3 ábra átlós pályái közül bármelyi hosszát. Ez V(vt/2)² + h², ahol h a tükrök közötti távolság (melyet 15 cm-nek választottunk a főszövegben). A két átlós pálya együttes hossza tehát 2V(vf/2')² + h². Mivel a fénysebességének értéke állandó, nevezzük ezt c-nek, a fény2V(vt/2)² + h²/c idő alatt halad végig a két átlós pályán. A t — 2V(vt/2)² + h ²/c egyenletet t-re megoldva t = 2h/Vc²- v² lesz. A félreértések elkerülése végett jelöljük a mozgó óra által mért egyetlen tiktakhoz szükséges időt következőképpen: t_mozgó = 2h He² - v². Az álló óra egyetlen ütéséhez viszont t_álló = 2ft/c idő kell és egy rövid számolás a t_mozgó = t_álló/Vl - v²/c² összefüggéshez vezet, mely közvetlenül jelzi, hogy a mozgó óra ütése hosszabb ideig tart, mint az álló óráé. Vagyis a kiválasztott események között kevesebb ütést hajt végre a mozgó óra, mint az álló, tehát a mozgó megfigyelő ideje lassabban telik.

 

4. Amennyiben a részecskegyorsítónál kevésbé különleges helyen végrehajtott kísérletet meggyőzőbbnek éreznénk, tekintsük át a következőket. 1971 októberének folyamán J. C. Hafele, a St. Louisi Washington Egyetemről és Richárd Keating, az Egyesült Államok Tengerészeti Megfigyelőállomásáról céziumórákat utaztatott kereskedelmi repülőutakon, mintegy 40 órán keresztül. A gravitációs hatásokkal kapcsolatos néhány árnyalt részlet figyelembevételével (melyeket a következő fejezetben tárgyalunk majd), a speciális relativitáselmélet jóslata szerint, a mozgó atomi órákon eltelt idő a másodperc néhány százmilliárdnyi részével lesz kevesebb a földön maradó hasonmásaikon mértnél. Hafele és Keating pontosan ezt találta: az idő valóban lelassul a mozgó órán.

 

5. Bár a 2.4 ábra helyesen mutatja be a tárgyak összehúzódását mozgásirányuk mentén, nem ábrázolja mindazt a furcsaságot, amit akkor látnánk, ha a tárgy közel fénysebességgel száguldana el mellettünk (feltéve, hogy szemünk elég éles lenne bárminek az észlelésére ilyen nagy sebesség mellett). Ahhoz, hogy lássunk valamit, szemünk, vagy a kamera a tárgyról visszavert fénnyel kell találkozzék. Mivel azonban a visszavert fény a tárgy különböző részeiről indulhat hozzánk, az adott pillanatban észlelt fény különböző hosszúságú pályákat íut be. Az eredmény valamiféle relativisztikus vizuális illúzió, melyben a tárgyat megrövidültnek és elforgatottnak látjuk.

 

6. A matematikai érdeklődésű olvasó számára megjegyezzük, hogy a téridő négyes helyvektorából x = (ct,xjcA~x,) = (ct,x) előállítható a sebesség négyes vektora u - dx/dt, ahol t a df = df - c~2(dx2 + dx2 + dx2) képlet segítségével értelmezett sajátidő. így a „téridőn való keresztülhaladási sebesség" az u négyes vektor nagysága, azaz [(cdf- dx2)/ (dt2- c~2dx2)]1/2, mely azonosan megegyezik a fény sebességével, c-vel. Ac2(dt/df)2- (dx/ dt)2 - c2 egyenlet átrendezésével c2(dt/dt)2 + (dx/dt)2 = c2 áll elő. Vagyis a test V(dx/dt)2 térbeli sebességének növekedését dt/dt csökkenése kíséri, utóbbi mennyiség a tárgy sebessége az időben (mely azt. mutatja, hogyan telik a sajátórán az idő (dt) az álló óra idejéhez (dt) viszonyítva).

 

3..fejezet

 

1. Isaac Newton, Sir Isaac Newton's Mathematical Principle of Natüral Philosophy and His System of the World, fordította A. Motte és Flórian Cajoli (Berkeley: University of California Press, 1962), első kötet, 634. old.

 

2. Kissé pontosabban fogalmazva, Einstein arra jött rá, hogy az ekvivalenciaelv mindaddig érvényes, míg a megfigyelő a tér eléggé kis tartományába szorítható. Ennek oka a következő. A gravitációs mező erőssége és iránya helyről helyre változhat, azonban a fülke egészként gyorsul, így gyorsulása egyenletes gravitációs mező érzetét kelti. Amint a fülke egyre kisebbedik, több lehetőség lesz a gravitációs mező változtatására, így az ekvivalenciaelv alkalmazhatósága megnövekszik. Technikailag, a gyorsuló megfigyelő által szimulált egyenletes gravitációs mező és a testek együttese által létrehozott „valódi", nem feltétlenül egyenletes gravitációs mezők közötti különbség az „árapály" gravitációs mező megnevezést viseli (mivel a Hold Földre gyakorolt árapály erőire is magyarázatot ad). Ez a jegyzet úgy foglalható össze, hogy az árapályjellegű gravitációs hatás a íülke nagyságának csökkenésével együtt csökken, megkülönböztethetetlenné téve a gravitációt a gyorsulástól.

 

3. Albert Einstein, idézte Albrecht Fölsing, Albert Einstein (New York: Viking, 1997), 315 old.

 

4. John Stachel, „Einstein and the Rigidly Rotating Disk", General Relativity and Gravitation, szerkesztő E. Held (New York: Plénum, 1980), 1. old.

 

5. A Tornádóbeli kaland, vagy technikai megnevezésénél maradva, a „mereven forgó korong" elemzése könnyen vezethet félreértéshez. Tulajdonképpen mind a mai napig nincs teljes egyetértés a példa néhány finom részletével kapcsolatosan. A főszövegben Einstein felfogását követtük és ebben a jegyzetben ugyanígy járunk el néhány félreérthető részlet magyarázatakor. Elsőként az nyugtalaníthat bennünket, hogy a korong kerülete miért nem Lorentz-kontrahálódik ugyanolyan mértékben, mint a vonalzó, azaz Lali miért nem találja ugyanolyan hosszúnak, mint eredetileg? Emlékezzünk, hogy sohasem láttuk a Tornádót nyugalomban, mindvégig pörgött. Nyugvó megfigyelői szemszögünkből nézve a mi és Lali mérése közötti egyetlen különbség az, hogy Lali vonalzója Lorentz-kontrahálódik. A forgó Tornádó henger egyaránt pörgött a mi mérésünk és a Lalié alatt is. Mivel vonalzóját kontrahálódni látjuk, tudjuk, hogy többször kell végigfektetnie a kerület mentén, így hosszabb kerületet fog mérni, mint mi. A henger kerületének Lorentz-kontrakciója csupán akkor bírt volna jelentőséggel, ha a hengert nyugalmi és mozgó állapotában hasonlítottuk volna össze, azonban erre az összehasonlításra nem került sor.

Másodszor, annak ellenére, hogy a nyugalomban lévő Tornádó vizsgálatára nem volt szükség, feltehetjük a kérdést, mi történt volna, ha lelassul, majd megáll a korong forgása. Úgy tűnik, ilyenkor figyelembe kell vennünk a változó sebesség miatt megváltozó kerület hosszát, mely a különböző mértékű Lorentz-kontrakciók következménye. Hogyan egyeztethető ez össze a változatlan sugárral? Ez kényes kérdés, melyre a megoldás az, hogy valódi világunkban nem léteznek teljesen merev testek. A tárgyak elgörbülhetnek, összenyomódhatnak, így alkalmazkodva a relativisztikus hatásokhoz. Ha nem így lenne, Einstein érvelése szerint a forgó mintába öntött olvadt fém megszilárdulásából létrejött forgó korong darabokra törne a forgási állapot hirtelen megváltoztatása miatt. A mereven forgó korong történetével kapcsolatos további részletek Stachel „Einstein és a mereven forgó korong" c. művében lelhetők fel.

 

6. A szakavatott olvasó felismeri a Tornádó példájában, azaz az egyenletesen forgó vonatkoztatási rendszerben, hogy a vizsgált görbült térmetszetek nulla görbületű téridővé állnak össze.

 

7. Hermann Minkowski, idézte Fölsing, Albert Einstein, 189. old.

 

8. Interjú John Wheelerrel, 1998. január 27.

 

9. A létező atomórák pontossága lehetővé teszi az ilyen parányi - sőt ennél kisebb - időkülönbségek észlelését. Például 1976-ban Róbert Vessot és Martin Levine a Harvard- Smithsonian Asztrofizikai Obszervatóriumból, néhány együttműködő társukkal a NASA- ból (National Aeronautics and Space Administration), egy trilliomod másodperc per óra pontosságú atomórát hordozó Scout D típusú rakétát lőtt fel a virginiai Wallops-szigetről. Reményeik szerint amint a rakéta magasabbra jut (és ezzel csökken a Föld gravitációs vonzása), a Föld felszínén maradt hasonló óra (mely a Föld teljes vonzásának továbbra is ki van téve) lassabban ver. Kétirányú mikrohullámú sugarak segítségével összehasonlítva a két atomóra tiktakolását, azt találták, hogy a rakéta által elérhető maximális 9600 kilométeres magasságban a felküldött atomóra a Földön maradt hasonmásához képest valóban lelassul: a lassulás mértéke 4 rész a milliárdhoz. Az eredmény az elméleti jóslattal egyszázadnyi pontosságon belül egyezett.

 

10. Az 1800-as évek derekán a francia tudós, Urbain Jean Joseph Le Verrier felfedezte, hogy a Merkúr bolygó mozgása enyhén eltér a newtoni gravitációelmélet által jósolt pályájától. A perihélium precessziójához adódó kis ráadás (köznapi nyelven: a Nap körbejárása után a Merkúr bolygó nem a newtoni elmélet által jósolt helyre érkezik) a lehetőségek skáláját villantotta fel. Megpróbálták ismeretlen bolygó, vagy bolygógyűrű, még fel nem fedezett hold hatásának tulajdonítani, a Nap lapultságával, bolygóközi por jelenlétével magyarázni. 1915-ben Einstein is kiszámolta a Merkúr perihéliumának precesszióját frissen kidolgozott általános relativitáselméletének segítségével. A talált eredmény, saját bevallása szerint, megdobogtatta szívét. Az általános relativitáselmélet jóslata egyezett a kísérleti megfigyelésekkel. A siker egyik oka volt annak, hogy Einstein rendületlenül hitt elméletében, azonban az emberek többségét valamely jóslat beigazolódása győzte volna hatásosabban meg az elmélet helyességéről, egy korábban ismert anomália magyarázata helyett. A részleteket Ábrahám Pais, Subtle Is the Lord (New York: Oxford University Press, 1982), 253. oldalon találjuk meg.

 

11. Róbert R Crease és Charles C. Mann, The Second Creation (New Brunswick, N. J.: Rutgers University Press, 1996), 39. old.

 

12. Meglepő módon, a kozmikus tágulással kapcsolatos részletes kutatás arra utal, hogy az Univerzum nagyon kis, de nem nulla kozmológiai állandóval rendelkezhet.

 

4. fejezet

 

 

1. Richárd Feynman, The Character of Physical Law (Cambridge, Mass.: MIT Press, 1965), 129. old.

 

2. Bár Planck munkája a végtelen energia rejtélyét megoldotta, látszólag nem ez volt a motivációja. Planck egy másik kérdést firtatott, mely azzal a kísérleti ténnyel kapcsolatos, hogy a forró tűzhelyben - egész pontosan a „feketetestben" - miként oszlik el az energia a különböző hullámhosszak között. Az érdeklődő olvasó e felfedezés történetével kapcsolatos részleteket Thomas S. Kuhn, Black-body Theory and the Quantum Discontinuity, 1894- 1912 (Oxford, Eng.: Clarendon, 1978) c. munkájában talál.

 

3. Pontosabban, Planck azt mutatta ki, hogy a feltételezhető (a tizenkilencedik század termodinamikája által jósolt) átlagos energiajárulékot meghaladó minimális energiájú hullámok exponenciálisan lecsengenek. Nagyobb frekvenciájú hullámok esetén a lecsengés meredekebb.

 

4. A Planck-állandó 1,05 • 10^~27 gramm centiméter²/ másodperc.

 

5. Timothy Ferris, Corning of Age in the Milky Way (New York: Anchor, 1989), 286. old.

 

6. Stephen Hawking, az amsterdami Gravitáció, fekete lyukak és húrelmélet szimpóziumon elhangzott előadásában, 1997. június 21.

 

7. Érdemes megjegyezni, hogy Feynman kvantummechanikai értelmezéséből levezethető a hullámmechanikai értelmezés, és fordítva. Bár a két elmélet által adott válaszok azonosak, a fogalmak, a nyelvezet és az interpretáció különbözőek.

 

8. Richárd Feynman, QED. The Strange Theory of Light and Matter (Princeton: Princeton University Press, 1988).

 

5. fejezet

 

1. Stephen Hawking, ABrief History ofTime (New York: Bántam Books, 1988), 175. old.

 

2. Richárd Feynman, idézi Timothy Ferris, The Whole Shebang (New York, Simon & Schuster, 1997), 97. old.

 

3. Amennyiben még mindig meg lennénk ütközve azon, miképpen következhet be mindez a tér üres tartományában, fontos lesz megértenünk, hogy a határozatlansági elv korlátozza a tér „ürességét", magát az üres tér fogalmát is megváltoztatva. Például, hullámszerű zavarok terjedésekor egy mezőben (mint az elektromágneses hullámok az elektromágneses mezőben), a határozatlansági elv kimondja, hogy a hullámok amplitúdója és az amplitúdó változási sebessége ugyanolyan fordítottan arányos viszonyban állnak egymással, mint a részecske helyzete és sebessége. Minél pontosabb az amplitúdó meghatározása, annál kevesebbet tudunk változási sebességéről. Amikor a tér üres tartományáról beszélünk, többek között arra is gondolunk, hogy nincsenek benne hullámok és minden mező értéke nulla. Esetlen, de végül is hasznos nyelvezetben fejezve ki ugyanezt: a tartományon áthaladó összes hullám amplitúdója nulla. Azonban, ha pontosan tudjuk az amplitúdó nagyságát, a határozatlansági elv értelmében teljesen bizonytalanná válik változási sebessége, mely tetszőleges értéket vehet fel. Az amplitúdó megváltozása miatt a következő pillanatban a mezők értéke már nem nulla, hiába „üres" még mindig a vizsgált tértartomány. Csupán átlagban lesz nulla a mező, hiszen egyes helyeken pozitív, más helyeken negatív értéket vesz fel, így a tartomány energiája átlagban nem változik meg. De ez csak az átlag. A kvantumos határozatlanságból következik, hogy a mező energiája - még az üres tértartományokban is - fel-le fluktuál, ingadozik, az ingadozások nagysága pedig annál nagyobb, minél kisebb tértartományokat vizsgálunk és minél rövidebb ideig. A fluktuációk energiája, az E = mc² képleten keresztül pillanatnyi részecske-antirészecske párok keltésére alkalmas, melyek sietősen semlegesítik egymást, hogy az energia az átlagtól ne térhessen el.

 

4. Bár a Schrödinger által leírt eredeti - a speciális relativitáselméletet is magában foglaló - egyenlet helytelenül írta le a hidrogénatom elektronjának kvantummechanikai viselkedését, hamar kiderült, hogy más környezetben alkalmazva hasznosnak bizonyulhat, így tulajdonképpen még ma is használatos. Azonban mire Schrödinger publikálta egyenletét, Oskar Klein és Walter Gordon elkaparintották előle a dicsőséget, így relativisztikus egyenletét manapság Klein-Gordon-egyenletnek nevezik.

 

5. A matematikai érdeklődésű olvasó számára megjegyezzük, hogy az elemi rész fizikában alkalmazott szimmetriaelvek csoportokra, jellemző módon Lie-csoportokra épülnek. Az elemi részecskéket különböző csoportok reprezentációiba rendezik, és az időfejlődést jellemző egyenleteknek tiszteletben kell tartani a szimmetriatranszformációkat. Az erős kölcsönhatás esetében a szimmetria az SU(3) csoport (a közönséges háromdimenziós forgatások olyan analógja, mely egy komplex térben hat), és a kvarkok háromféle színe háromdimenziós reprezentációban transzformálódik. A főszövegben említett színváltozás (piros, zöld, kékből sárga, türkiz, ibolya) pontosabban a kvark „színkoordinátáinak" terében ható SU(3) transzformációnak felel meg. A mértékszimmetriákban a csoporttranszformáció téridőfüggő lehet: jelen esetben különböző helyeken és időpontokban más-más- féleképpen „forgatjuk el" a kvarkok színeit.

 

6. A három nemgravitációs kölcsönhatás kvantumelméletének kialakulása során a fizikusok végtelen eredményekhez vezető számolásokra bukkantak. Idővel azonban rájöttek arra, hogyan szabadulhatnak meg ezen végtelenektől a renormálásnak nevezett eljárás segítségével. Az általános relativitáselmélet és kvantummechanika egyesítési kísérletei során felbukkanó végtelenek ennél sokkalta vészesebbek, nem hat rájuk a renormálás gyógymódja. Nemrég jöttek rá a fizikusok, hogy a végtelenek az elmélet alkalmazhatósági határain való keresztüllépésének tulajdoníthatók. Mivel a jelenlegi kutatások célja a legalábbis elvben korlátlan alkalmazhatósági tartománnyal rendelkező elmélet kidolgozása - ez lenne a „végső" elmélet - a fizikusok olyan elméletet szeretnének találni, melyben nem jelennek meg a végtelenek, bármilyen extrém is lenne a vizsgált fizikai rendszer.

 

7. A Planck-hossz nagysága a fizikusok által dimenziós analízisként emlegetett eljárás segítségével érthető meg. Az alapelgondolás a következő. Amikor egy elméletet az egyenletek gyűjteményeként fogalmaznak meg, az absztrakt szimbólumoknak a fizikai valóság tulajdonságaival kell kapcsolatban állniuk. Ehhez, többek között, be kell vezetnünk egy mértékegységrendszert, hogy amikor egy szimbólum, tegyük fel, hosszúság jellegű mennyiséget jelöl, rendelkezésre álljon egy lépték, amihez viszonyíthatunk. Végül is, ha az egyenletek azt mondják, hogy a kérdéses hossz 5, tudnunk kell, hogy 5 centiméterről, 5 kilométerről vagy 5 fényévről van-e szó? Az általános relativitáselméletet és kvantummechanikát egyaránt használó elméletekben egy természetes mértékegységrendszer következőképpen adódik. Az általános relativitáselmélet két természeti állandótól függ alapvetően: ezek c, a fénysebessége, és Newton gravitációs állandója, G. A kvantummechanika pedig a h természeti állandótól. A felsorolt állandók egységeinek elemzése (c sebesség, azaz távolság osztva idővel stb.) megmutatja, hogy a (Gh/c³)^1/2 kombináció távolságjellegű, értéke 1,616 x 10³³ centiméter. Ez a Planck-hossz. Mivel gravitációs bemeneteket (G és c), valamint kvantummechanikai bemenetet (h) egyaránt tartalmaz, a gravitációt és kvantummechanikát egyesíteni szándékozó bármely elmélet méréseinek skáláját - egy természetes hosszúságot - határoz meg. A főszövegben a Planck-hossz gyakran szerepel közelítő értelemben, a 10³³ centiméterhez néhány nagyságrenden belül található távolságot jelölve.

 

8. Jelelenleg a kutatók a húrelméleten kívül az általános relativitáselmélet és a kvantummechanika egyesítési erőfeszítésében két másik elmélettel is próbálkoznak. Ezek egyike a Roger Penrose (Oxford Egyetem) által vezetett twistor-elméleti kutatás. A másik - melyet részben szintén Penrose munkája inspirált - a Pennsylvania Állami Egyetemen dolgozó Abhay Ashtekar vezetésével zajlik, és az új változók módszere néven ismeretes. Bár ezen alternatív elméleteket nem tárgyaljuk a könyv további részeiben, egyre valószínűbb, hogy mély kapcsolatban állnak a húrelmélettel, és talán a három elmélet az általános relativitáselmélet és kvantummechanika egyesítésének közeli útjain halad.

 

6. fejezet

 

1. A szakavatott olvasó fel fogja ismerni, hogy ez a fejezet csupán a perturbatlv húrelmélettel foglalkozik. Nemperturbatlv vonatkozásokat a 12. és 13. fejezetekben tárgyalunk

 

2. Interjú lohn Schwarz-cal, 1997. december 23.

3. Hasonló, de ezektől független megfontolásokat tett Tamiaki Yoneya, valamint Korkut Bardakci és Martin Halpern is. A svéd Lars Brink szintén jelentősen hozzájárult a húrelmélet korai fejlődéséhez.

 

4. Interjú lohn Schwarz-cal, 1997. december 23.

 

5. Interjú Michael Greennel, 1997. december 20.

 

6. A standard modell általjavasolt mechanizmus, melynek során a részecskék tömegre tesznek szert, a Higgs-mechanizmus nevet viseli, Péter Higgs skót fizikus tiszteletére. Azonban a részecskék tömegeinek magyarázata szempontjából a Higgs-mechanizmus csupán áthelyezi a felelősséget a „tömegosztó részecske" vállaira - az ún. Higgs-boz,onéra. A hipotetikus részecske kísérleti kimutatását megcélzó próbálkozások javában folynak, de megtalálása esetén tulajdonságai ismét csak bemenő adatok lesznek a standard modellben, melyekre az elmélet nem tud magyarázatot adni.

 

7. A matematikai érdeklődésű olvasó számára elmondjuk, hogy a húr rezgési mintázatok és a kölcsönhatási töltések közötti kapcsolat a következőképpen valósul meg. Amikor a húr mozgását kvantálják, lehetséges rezgési állapotait a Hilbert-tér vektorai jelképezik, a többi kvantummechanikai rendszerhez hasonlóan. Ezen vektorokat hermitikus operátorok bizonyos halmazának hatásakor megjelenő sajátértékek segítségével különböztetjük meg egymástól. Az operátorok között megtaláljuk a Hamilton-operátort is, melynek sajátértékei az energiát adják meg, valamint az elmélet által kielégített különböző mértékszimmetriákat generáló operátorokat. Utóbbiak sajátértékei a húr rezgési állapotokhoz tartozó kölcsönhatási töltések.

 

8. A 12. fejezetben tárgyalandó második szuperhúr-forradalom meglátásai által vezérelten Witten és Joe Lykken a Fermi Nemzeti Gyorsító Laboratóriumból még figyelemreméltóbb hozzájárulással egy megbúvó lehetséges hiányosságot talált az okfejtésben. Lykken, felismerésének ismertetésével egy időben javaslatot tett annak elfogadására, hogy a húrokat sokkal kisebb feszültség is jellemezheti, így jelentős méretre tehetnek szert, a korábban gondoknál sokkal nagyobbak lehetnek. Annyira nagyok, hogy a részecskegyorsítók következő generációja már kimutathatná létezésüket. Amennyiben a sejtés igaz, lelkesítő jövő áll előttünk. A húrelmélet számos figyelemre méltó következményét, melyeket itt és a következő fejezetekben ismertetünk, kísérleti ellenőrzésnek vethetjük alá még az elkövetkező évtized során. Azonban még a húrelmélet sokkal „hagyományosabb" forgatókönyve esetén is, melyben a húrok jellemző mérete 10³³ centiméter, léteznek közvetett módszerek, melyek kísérleti feltárást tesznek lehetővé, amint azt a 9. fejezetben látni fogjuk.

 

9. A szakavatott olvasó rá fog jönni, hogy az elektron és pozitron ütközésekor keletkező foton nem más, mint egy virtuális foton, így rövidesen vissza kell adnia energiáját, részecske-antirészecske párra esve szét.

 

10. Természetesen tudjuk, hogy a fényképezőgép a vizsgált tárgyról induló fotonok fényképpapírdarabon való rögzítésének elvén működik. A fényképezőgép használata példánkban szimbolikus, nem feltételezzük, hogy az ütköző húrokról fotonok szóródnának. A 6.7 (c) ábrán egyszerűen a kölcsönhatás teljes történetét szeretnénk ábrázolni. Ennek kimondása után a főszövegbeli tárgyalás másik olyan pontjára hívjuk fel a figyelmet, mely felett ott nagyvonalúan elsiklottunk. Megtanultuk a 4. fejezetben, hogy a kvantummechanika Feynman történetek feletti összegzésének módszerével is leírható, melynek során a testek mozgását a kezdőpontból az érkezési pontba vezető pályák mindegyikének hozzájárulását összegezve vizsgáljuk. (Mindegyik hozzájárulás bizonyos statisztikai súlyzófaktorral jelenik meg az összegzésben, melyeket Feynman meghatározott.) A 6.6 és 6.7 ábrákon a pontrészecskék által a kiindulási pontból az érkezési pontig követett tetszőleges pályát mutattuk be. Az alfejezet érvelései azonban a pontrészecskék (6.6 ábra) vagy húrok (6.7 ábra) által a kezdeti pontot a végsővel összekötő bármely pályára igazak. Mivel az alfejezet érvelései tetszőleges pályára érvényesek, az egész kvantummechanikai folyamatot jellemzik. (Feynman történetek feletti összegzésének módszerét a Berkeley California Egyetemen dolgozó Stanley Mandelstam és Alexander Poljakov orosz fizikus - aki most a princetoni egyetem professzora - általánosították a húrok esetére.)

 

7. fejezet

 

1. Albert Einstein, idézte R. Clark, Einstein: The Life and Times (New York: Avon Books, 1984), 287. old.

 

2. Pontosabban, az Vi spin jelentése az, hogy az elektron spinnek tulajdonítható impulzusnyomatéka (perdülete) h/2.

 

3. A szuperszimmetria felfedezése és fejlődése bonyolult történet. A főszövegben említetteken kívül, a következők korai hozzájárulása mindenképpen említést érdemel: R. Haag, M. Sohnius, J. T Lopuszanski, Y. A. Golfand, E. P Lichtman, J. L. Gervais, B. Sakita, V R Akulov, D. V Volkov és V A. Soroka. Munkásságukat részben lefedi Rosanne Di Stefano, Notes on Conceptual Development of Supersymmetry, Institute for Theoretical Physics, State University of New York at Stony Brook, LTP-SB-8878 számú preprint.

 

4. A matematikai érdeklődésű olvasó számára megjegyezzük, hogy ez a kiterjesztés a megszokott Descartes-koordináták kibővítése új, kvantumos jellegű koordinátákkal, mondjuk u és v, melyek antikommutálnak, azaz u • v=-v • u. A szuperszimmetria a kvantummechanikai koordinátákkal kibővített térben transzláció.

 

5. Azon olvasók számára, akik többet szeretnének tudni erről a technikai jellegű problémáról, elmondjuk a következőket. A 6. fejezet 6. jegyzetében említettük, hogy a standard modell egy „tömegosztó részecskét" feltételez - a Higgs-bozont -, mely az 1.1 és 1.2 táblázatok részecskéit tömeggel látja el. Hogy a mechanizmus működjék, maga a Higgs- részecske nem lehet túlságosan nehéz. A becslések szerint tömege bizonyosan nem több a proton tömegének ezerszeresénél. Azonban, mint kiderült, a kvantumos fluktuációk jelentősen hozzájárulnak a Higgs-bozon tömegéhez, akár Planck-léptékű tömeget is eredményezve. A kutatók azt találták, hogy a standard modell ezen jelentős hibája elkerülhető, amennyiben a standard modell bizonyos paramétereit (leginkább a Higgs-bozon ún. csupasz tömegét) a tömegnövekedést okozó fluktuációk hatásának kiküszöbölése céljából finomhangolják 1 rész a 10¹⁵-höz pontosságon belül.

 

6. A 7.1 ábra egyik finomsága, hogy a gyenge kölcsönhatás erősségét az erős és az elektromágneses közé helyezi annak ellenére, hogy korábban kijelentettük, mindkettőnél gyengébb. Az ok az 1.2 táblázatban keresendő, melyből láthatjuk, hogy a gyenge kölcsönhatás közvetítő részecskéi jelentős tömegűek, míg az erős és elektromágneses kölcsönhatásoké tömegnélküliek. A gyenge kölcsönhatás (csatolási állandó segítségével kifejezett - ezzel a fogalommal a 12. fejezetben ismerkedünk meg) valódi erősségét a 7.1 ábra fejezi ki, azonban a nehéz közvetítőrészecskék tunya továbbítónak bizonyulnak, csökkentve a kölcsönhatást. Látni fogjuk majd a 14. fejezetben, hogyan illeszkedik a gravitációs erő a 7.1 ábrába.

 

7. Edward Witten, a Heinz Pagels emlékelőadás-sorozaton elhangzott előadás, Aspen, Colorado, 1997.

 

8. Ezek a gondolatok és összefüggéseik mélyenszántó tárgyalása Steven Weinberg, Dreams of a Final Theory című könyvében található meg.

 

8.fejezet

 

1. Ez egyszerű gondolat, mivel azonban köznapi nyelvünk pontatlanságai néha zavarokhoz vezethetnek, két tisztázó jellegű megjegyzés mindenképpen idekívánkozik. Először is, feltettük, hogy a hangyának a locsolócső/kerületén kell élnie. Ha a hangya be tudná ásni magát a locsolócső belsejébe - át tudná rágni a locsolócső gumiszerű anyagát - mégiscsak három számra lenne szükségünk helyzetének jellemzésére., hiszen azt is meg kellene adnunk, milyen mélyen rágta be magát a gumiba. Ha azonban a hangya szigorúan a locsolócső felszínén él, helyzete valóban két számmal jellemezhető. Ezzel eljutunk a második hangsúlyozandó megjegyzésünkig. Bár a hangya szigorúan véve csak a locsolócső felületén tartózkodik, helyzetének meghatározására mégis használhatnánk három számot, melyek a lol-le, előre-hátra, jobb-bal irányokban elfoglalt helyzetét jellemzik. Mivel azonban tudjuk, hogy a hangya a locsolócső felületén él, a főszövegben megadott két szám a hangya helyzetének egyértelmű meghatározását lehetővé tevő minimális adathalmaz. Ezért nevezzük kétdimenziósnak a locsolócsövet.

 

2. Meglepő módon, Savas Dimopoulos, Nima Arkani-Hamed és Gia Dvali fizikusok, Ignatios Antoniadis és Joseph Lykken korábbi meglátásaiból kiindulva rámutattak arra, hogy még ha az extra felcsavarodott dimenzió milliméter nagyságú is lenne, nem föltétlenül kellett volna eddig kísérletileg kimutatni. Ennek oka az, hogy a részecskegyorsítók a mikrovilágot az erős, gyenge és elektromágneses kölcsönhatások vizsgálatán keresztül tesztelik. A gravitációs erőt, mely hihetetlenül gyenge a technológiailag elérhető energiákon, elhanyagolják. Azonban Dimopoulos és munkatársai kihangsúlyozták, hogy a felcsavarodott dimenzió leginkább a gravitációra gyakorol hatást (ez, mint kiderült, természetesen adódik a húrelméletben), így fennáll a lehetőség, hogy az összes eddigi kísérlet tekinteten kívül hagyhatta. Az új, nagypontosságú gravitációs kísérletek vizsgálni fogják már a közeljövőben ezen „nagy", felcsavarodott dimenziók létezésének lehetőségét. A pozitív eredmény minden idők egyik legjelentősebb felfedezése lenne.

 

3. Edwin Abbott, Flaúand (Princeton: Princeton University Press, 1991).

 

4. A EinsteinK. Kaluzanakküldött levelében, idézte Ábrahám Pais, „Subtle isthe Lord": The Science and the Tife ofAlbert Einstein (Oxford: Oxford University Press, 1982), 330. old.

 

5. A. Einstein K. Kaluzanak küldött levelében, idézte D. Freedman és R van Nieuwen- huizen, „The Hidden Dimensions of Spacetime", ScientificAmerican 252 (1985) 62

 

6. Ibid.

 

7. A fizikusok azt találták, hogy a standard modell több dimenzióba való beágyazásának egyik legnehezebb része a kiralitás néven ismert tulajdonság. Hogy ne bonyolítsuk el a tárgyalást túlságosan, nem vettük be a főszövegbe e fogalom tárgyalását, de az érdeklődő olvasók számára most röviden ismertetjük. Képzeljük el, hogy egy tudományos kísérlet lefolyását rögzítő filmfelvételt nézünk és arra a szokatlan feladatra szólítanak fel, hogy meghatározzuk, vajon az eredeti kísérletet, vagy pedig a tükörképét láttuk? Mivel a film alkotója jó szakember, a kérdéses tükör nyilvánvaló jelei nem fedezhetők fel. Választ tudunk-e adni a kihívásra? Az 1950-es évek derekán T D. Lee és C. N. Yang elméleti meglátásai, valamint C. S. Wu és munkatársainak kísérleti eredményei kimutatták, hogy amennyiben a megfelelő kísérletet rögzítette a filmszalag, igenis van különbség. Munkásságuk kimutatta, hogy az Univerzum törvényei nem pontosan tükrözés-szimmetrikusak, abban az értelemben, hogy bizonyos - a gyenge kölcsönhatástól expliciten függő - folyamatok tükörképe világunkban nem következhet be, annak ellenére, hogy az eredeti folyamat bekövetkezhet, így, ha a film nézése közben a tiltott folyamatok valamelyikét látjuk, biztosak lehetünk benne: a kísérlet tükörképét vetítik. Mivel a tükrök felcserélik a balt a jobbal, Lee, Yang és Wu munkája az Univerzum jobb-bal szimmetriájának sérülését állapította meg - a szaknyelv szerint, az Univerzum királis. A standard modell (ezen belül, a gyenge kölcsönhatás) e tulajdonságának magasabb dimenziós szuperszimmetrikus keretek közé foglalását a fizikusok közel lehetetlennek találták. A félreértések elkerülése végett megjegyezzük, hogy a 10. fejezetben a húrelméleti „tükrözési szimmetria" fogalmával ismerkedhetünk meg, azonban ennek jelentése teljesen különbözik az itt tárgyalttól.

 

8. A matematikai érdeklődésű olvasó számára megjegyezzük, hogy a Calabi-Yau sokaság eltűnő első Chern osztályú komplex Káhler-sokaság. 1957-ben Calabi kimondta a sejtést, miszerint minden ilyen sokaság megenged egy Ricci-sík metrikát, 1977-ben pedig Yau ezt a sejtést bebizonyította.

 

9. Az ábra az Indiana Egyetemen dolgozó Andrew Hansontól származik és a Mathematica szoftver 3D grafikus csomagja segítségével készült.

 

 

 

10. A matematikai érdeklődésű olvasó számára megjegyezzük, hogy ez a sajátos Calabi- Yau tér a komplex projektív négydimenziós tér kvintikus hiperfelületének valós háromdimenziós metszete.

 

9 .fejezet

 

1. Edward Witten, „Rellections on the Fate of Spacetime" Physics Today, 1996. április, 24. old.

 

2. Interjú Edward Wittennel, 1998. május 11.

 

3. Sheldon Glashow és Paul Ginsparg, „Desperately Seeking Superstrings?" Physics Today, 1986. május, 7. old.

 

4. Sheldon Glashow, a Superworld I-ben, szerkesztő A. Zichichi (New York: Plénum, 1990), 250. old.

 

5. Sheldon Glashow, Interactions, (New York: Warner Books, 1988), 335. old.

 

6. Richárd Feynman, a Superstrings: A Theory of Everything?, szerkesztő Paul Davies és Julián Brown (Cambridge, England.: Cambridge University Press, 1988).

 

7. Howard Georgi, a The New Physics, szerkesztő Paul Davies (Cambridge: Cambridge University Press 1989), 446. old.

 

8. Interjú Edward Wittennel, 1998. március 4.

 

9. Interjú Cumrun Vafával, 1998. január 12.

 

10. Murray Gell-Mann, idézte Róbert R Crease és Charles C. Mann, The Second Creation (New Brunswick, New York: Rutgers University Press 1996), 414. old.

 

11. Interjú Sheldon Glashow-val, 1997. december 28.

 

12. Interjú Sheldon Glashow-val, 1997. december 28.

 

13. Interjú Howard Georgival, 1997. december 28. Az interjú során Georgi azt is megjegyezte, hogy az általa és Glashow általjavasolt első nagy egyesített elmélet jóslataként előálló protonbomlás kísérleti cáfolata (lásd 7. fejezet) nagy szerepet játszott abban, hogy elutasítsa a szuperhúrelméletet. Csípősen jegyezte meg, hogy az ő nagy egyesített elmélete sokkal magasabb energiatartományokat célzott meg minden korábbi elméletnél, és amikor jóslata hamisnak bizonyult - amikor a „természet visszautasította" -, akkor az extrém nagy energiákon érvényes fizika tanulmányozása iránti hozzáállása hirtelen megváltozott. Amikor rákérdeztem, hogy egyesített elméletének sikere arra sarkallta-e volna, hogy a Planck- skálán érvényes fizika tanulmányozásába fogjon, azt válaszolta „igen, ez lehetséges".

 

14. Dávid Gross, „Superstrings and Unification", a Proceedings of the XXTVInternational Conference on High Energy Physics-ben, szerkesztette R. Kotthaus és J. Kühn (Berlin: Sprin- ger-Verlag, 1988), 329. old.

 

 

15. Ennek elmondása után érdemes emlékezetünkbe idézni a 6. fejezet 8. jegyzetében említett lehetőséget, miszerint fennáll a lehetőség, hogy a húrok az eredetileg gondoknál sokkal hosszabbak, így kísérleti kimutatásuk a következő évtizedek gyorsítóival lehetségessé válna.

 

16. A matematikai érdeklődésű olvasó számára megjegyezzük, hogy a matematikailag pontosabb állítás értelmében a családok száma a Calabi-Yau tér Euler-száma abszolút értékének fele. Maga az Euler-szám a sokaság homológia-csoportjai dimenziószámának alternáló összege. A homológia-csoport pedig a lazán csak többdimenziós lyukként említett objektum. Azaz három család a ±6 Euler-számú Calabi-Yau terek esetén következhet be.

 

17. Interjú John Schwarz-cal, 1997. december 23.

 

18. A matematikai érdeklődésű olvasó számára megjegyezzük, hogy a vizsgált Calabi Yau alakzatok egy véges, nemtriviális fundamentális csoport sokaságai melynek rendje bizonyos esetekben meghatározza a törtértékű töltések nevezőit.

 

19. Interjú Edward Wittennel, 1998. március 4.

 

20. A szakember számára megjegyezzük, hogy ezen folyamatok némelyike sérti leptonszám megmaradásának törvényét és a töltés-paritás-idő (CPT) felcserélésével kapcsolatos szimmetriát.

 

10. fejezet

 

1. A     teljesség kedvéért jegyezzük meg, hogy bár a könyvben az eddig tárgyaltak túlnyo mó része a nyitott (szabad végekkel rendelkező) húrokra ugyanúgy érvényes, mint a zá húrokra (hurkokra, melyekről szó volt), a jelenlegi tárgyalásban a kétféle húr tulajdonsa gai szétválnak. Egy körkörös dimenzióra feltekeredett nyitott húr nem lesz minőségűé különböző fel nem tekeredett társánál. Ennek ellenére, 1989-ben, a második szuperhúr forradalomban kulcsfontosságú szerepet játszó munkájukban a Santa Barbara-i California Egyetemen Joe Polchinski és két tanítványa, Jian-Hui Dai, valamint Róbert Leigh kimutat ták, hogy a nyitott húrok viselkedése tökéletesen illeszkedik a jelen fejezetben ismerendő következményekhez.

 

2. Amennyiben csodálkoznánk azon, hogy miért lehet a rezgési energia l/R-nek csupán egész számú többszöröse, emlékezzünk vissza a kvantummechanika kapcsán mondottakra - a raktár példájára a 4. fejezetben. Megtanulhattuk ott, hogy a kvantummechanik szerint az energia, akár a pénz, csak diszkrét adagokban fordulhat elő, melyek egész szá mú többszörösei bizonyos energiacímleteknek. A locsolócső-univerzumban az egyenlete rezgési energia esetén az energiacímlet pontosan 1/R, mint ahogyan a főszövegben a határozatlansági relációból láthattuk. így az egyenletes rezgési energia egész számú több szőröse lesz l/R-nek.

 

3. Matematikai szempontból az R és az 1/R sugarú körkörös dimenziójú univerzumok húrjai energiáinak egyenlősége abból ered, hogy a teljes energia n/R + wR alakú, ahol n a rezgési szám, w pedig a feltekeredési szám. Ez a kifejezés invariáns n-nek w-vel és R-nek 1/R-rel való egyidejű felcserélésére, azaz a rezgési és feltekeredési számok cseréjére, valamint a sugár invertálására. Tárgyalásunk Planck-egységeket használ, de használhatnánk hagyományosabb egységeket is, újraírva az energia képletét Ve? - az ún. húr lépték - segítségével, melynek értéke a Planck-hossz, azaz 10~33 centiméter közelében található. A húr teljes energiáját ekkor n/R + wR/a' alakban fejezhetjük ki, mely invariáns n és w, valamint R és a'/R cseréjére, utóbbi kettő most szokványos távolságegységekben van kifejezve.

 

4. Hogyan lehetséges, hogy a húr, mely az R sugarú körön feszül végig, mégis 1/R-ként érzékelje a sugarat? Az aggályjogosnak tűnhet, azonban a válasz a kérdés pontatlan megfogalmazásában rejlik. Amikor azt állítjuk, a húr az R sugarú körre tekeredik fel, szükségszerűen a távolságnak a fel nem tekeredett húrokkal - azaz a rezgési módusokkal - kapcsolatos másik definícióját használtuk fel, így az „R sugárról" beszélni értelmetlenné válik. Az egyetlen sugár, ami a feltekeredett húr esetében értelemmel bír, az 1/R, és ez a feltekeredési módusok következménye.

Tárgyalásunk fényt derít arra, miért fordítottan arányosak egymással a feltekeredett és fel nem tekeredett húrok által mért távolságok. Azonban a kérdés ennél is bonyolultabb. A matematikai érdeklődésű olvasó számára érdemes a következőket elmondani. A pontrészecskék kvantummechanikájában a távolságot és az impulzust (lényegében az energiát) az ún. Fourier-transzformáció kapcsolja össze. Azaz, az R sugarú körön az |x> helyzet sajátállapota \x > = In e"Hp> alakban adható meg, ahol p «• v/R és \p> az impulzus sajátállapota (a húrok egyenletes rezgési állapotának analógiája - egészben való elmozdulást jellemez, az alak megváltozása nélkül). A húrelmélet azonban egy másik VTX'> helyzet-állapot fogalmat is megenged, melyet a feltekeredett húrmódusok segítségével értelmezünk: |x'> = 'Lneaf'\p'>, ahol |p'> egy feltekeredett sajátállapotot jelöl és p'=wR. Ezekből a definíciókból mindjárt látjuk, hogy x periodikus, és periódusa 2TZR, valamint x' is periodikus, periódusa 2n/R. így x az R sugarú körön, x' pedig az 1/R sugarú körön futó koordináta. Még explicitebb módon fogalmazva: képzeljük el az |x> és az |x'> hullámcsomagokat, amint mindketten az origóból kiindulva időben fejlődnek. Alkalmazzuk a fenti kétféle megközelítést a távolság definíciójához. Bármelyik próba által mért körsugár arányos a körbejárásához szükséges idővel. Mivel az E energiájú állapot fejlődését az Et fázisfaktor jellemzi, az eltelt idő, így a távolság is t~ l/E—R lesz a rezgési módusok, valamint r~l/£~l/R a feltekeredési módusok esetén.

 

5. A matematikai érdeklődésű olvasó kedvéért megjegyezzük, hogy a húrrezgésekhez tartozó családok pontos számának meghatározásához a Calabi-Yau tér Euler-karakterisz- tikájának abszolút értékét kell elfeleznünk, mint ahogyan a 9. fejezet 16. jegyzetében már említettük. Ezt a h2'1 és ah1,1 különbségének abszolút értéke adja meg Qf*jelöli a (p,q) Hodge-számot). Egy szám hozzáadásának erejéig ezek a nemtriviális homológia 3-ciklu- sok („háromdimenziós lyukak") számát, illetve a nemtriviális homológia 2-ciklusok („kétdimenziós lyukak") számát adják meg. És bár a főszövegben a lyukak pontos számáról beszéltünk, a pontosabb elemzés azt mutatja, hogy a családok száma a páros és páratlan dimenziójú lyukak számainak különbségétől függ. A következtetés azonban ugyanaz. Példának okáért, ha két Calabi-Yau tér a h21 és a h1-1 Hodge-számokat felcserélten tartalmazza, a részecske-családok száma - és ezzel együtt a „lyukak" száma - nem változik.

 

6. A név onnan ered, hogy a „Hodge-gyémántok" - a Calabi-Yau tér változatos lyukainak matematikai összefoglalásai - minden tükörkép Calabi-Yau pár esetén egymás tükörképei.

 

7. A tükrözési szimmetria elnevezés szintén használatos a fizika más területein, mint például a kiralitás problémakörében - jobb-bal tükrözésszimmetrikus-e a világ? -, mint ahogyan azt a 8. fejezet 7. jegyzetében már tárgyaltuk.

 

11. fejezet

 

 

1. A     matematikai érdeklődésű olvasó felismerheti, hogy a következő kérdést feszegetjük: dinamikus-e - azaz, megváltozhat-e a tér topológiája? Megjegyezzük, hogy bár gyakran használjuk majd a dinamikus topológiaváltozás fogalmát, gyakorlatilag ilyenkor mindig téridők egyparaméteres családjára gondolunk, melyek topológiája a paraméter íügj- vényében változik. Technikai értelemben a paraméter nem az idő, de bizonyos korlátok mellett az idővel azonosítható.

 

2. A matematikai érdeklődésű olvasó számára elmondjuk, hogy az eljárás a Calabi-Yau tereken felvett racionális görbéken és azon a tényen alapul, hogy a keletkező szingularitás feloldható különböző kis felbontások használatával.

 

3. K. C. Colé, New York Times Magaziné, 1987. október 18., 20. old.

 

12. fejezet

 

1. Albert Einstein, idézi John D. Barrow, Theories of Everything (New York: Fawcett- Columbine, 1992), 13. old.

 

2. Foglaljuk röviden össze az öt húrelmélet közötti különbségeket. Elöljáróban jegyezzük meg, hogy a rezgési zavarok a zárt húron kétféleképpen vonulhatnak végig: az óramutató járásának irányában, vagy azzal ellentétesen. AIIA és a EB típusú húrok abban különböznek egymástól, hogy az óramutató járású, Ül. azzal ellentétes rezgések az utóbbiban egyformák, míg az előbbiben egymásnak pontos fordítottjai. A „fordított" itt pontos matematikai jellegzetességet takar, azonban egyszerűbb a kialakuló rezgési mintázatok által megadott spint tartani szem előtt a két elméletben. A HB típusú elméletben minden részecske azonos irányba pörög (azonos a kiralitásuk), míg a HA típusú elméletben mindkét irányba pöröghetnek (mindkét kiralitás előfordul). Mindkét elmélet magában foglalja a szuperszimmetriát.

A két heterotikus elmélet hasonlójellegű, de drámaibb különbséget mutat fel. Minden óramutató szerinti járású rezgésük azonos a II típusú elméletekével (az óramutatóval megegyező járású rezgések tekintetében a HA és HB típusú elméletek megegyeznek), de óramutatóval ellentétes irányú rezgéseik az eredeti bozonikus húrelméletével azonosak. Bár a bozonikus húrelmélet leküzdhetetlen nehézségekkel szembesül, ha mind az óramutatóval megegyező, mind az azzal ellentétes irányú rezgések magyarázatára próbáljuk alkalmazni, 1985-ben Dávid Gross, Jeffrey Harvey, Emil Martinec és Ryan Rohm (akkoriban valamennyien Princetonban voltak és a „princetoni húrkvartett"-ként tartották számon őket) kimutatták, hogy a II típusú húrelméletekkel csatoltan alkalmazva a bozonikus húrelméleteket, jól viselkedő elmélethez jutunk. Az egyesítéssel a baj csupán az, amit már a Rutgers Egyetemen dolgozó Claude Lovelace 1971-es munkássága, valamint a bostoni egyetemen dolgozó Richárd Brower, valamint Péter Goddard (a cambridge-i egyetemről)és Charles Thorn (a gainesville-i Florida Egyetemről) 1972-es munkássága kiderített, hogy a bozonikus húr 26-dimenziós téridőt igényel, míg a szuperhúr, mint láthattuk, mindössze tízdimenziósat. így a heterotikus húrelmélet furcsa hibrid-konstrukció, melyben az óramutatójárásával ellentétes irányban haladó rezgések 26-dimenziós világban élnek, míg az óramutató járásával megegyező irányú rezgések 10-dimenziósban! Még mielőtt belebonyolódnánk abba, hogy e furcsaságot megemésszük, jegyezzük meg, hogy Gross és társai kimutatták, hogy az extra 16 dimenzió a lyukas fánkhoz hasonló képződmények egyikébe csavarodik fel, így hozva létre a heterotikus-0 vagy a heterotikus-E elméleteket. Mivel a 16 darab extra dimenzió a bozonikus oldalon mereven felcsavarodik, ezen elméletek valójában 10 dimenziósként hatnak, akár a II típusú elméletek. Mindkét heterotikus elmélet úgyszintén magába foglalja a szuperszimmetria valamely verzióját.

Végül, az I típusú elmélet a EB közeli rokona, azzal a különbséggel, hogy megenged nyitott húrokat is, melyek végei nem kapcsolódnak össze.

 

3. Amikor ebben a fejezetben egzakt válaszokról beszélünk, a Föld „egzakt" mozgásáról például, valójában arra szeretnénk utalni, hogy a lehető legpontosabban adjuk meg a keresett fizikai mennyiséget a választott elméleti rendszeren belül. Mindaddig, mlg nem rendelkezünk az igazi, végső elmélettel - ami talán már megvan, de az is lehetséges, hogy sohasem találunk rá - elméleteink összessége csupán a valóság közelítését adja. E közell- tésfogalom nem keverendő össze a főszövegben használttal. Utóbbi azzal kapcsolatos, hogy egy kiválasztott elméleten belül igen nehéz, ha nem éppenséggel lehetetlen az adott elmélet jóslatait egzakt módon előállítani. Ezért gyakran előfordul, hogy a jóslatokat közelítő eljárások segítségével kell előásni.

 

4. Ezek a diagramok a pontrészecske kvantumtérelméletekben végzendő perturbatlv számolások elvégzéséhez Richárd Feynman által kidolgozott Feynman-diagrammok húrelméleti változatai.

 

5. Pontosabban, minden virtuális húrpár, azaz adott diagram minden hurka - más, sokkal bonyolultabb járulékok mellett - a húrcsatolási állandóval egyenlő szorzófaktorral járul hozzá. A több hurok több szorzófaktort jelent. Amennyiben a húrcsatolási állandó 1- nél kisebb, az ismételt szorzás csökkenteni fogja a teljes járulékot. Amennyiben 1, vagy 1- nél nagyobb, az ismételt szorzások ugyanazt, vagy nagyobb járulékot eredményeznek.

 

6. A matematikai érdeklődésű olvasó számára elmondjuk, hogy az egyenlet biztosltja a téridő Ricci-sík metrikájának létezését. Amennyiben a téridőt a négydimenziós Minkowski téridő és egy hatdimenziós Káhler-sokaság Descartes-szorzatára bontjuk, a Ricci-síkság az utóbbi Calabi-Yau jellegével ekvivalens. Ezért van az, hogy a Calabi-Yau terek olyan jelentős szerepet játszanak a húrelméletben.

 

7. Természetesen, az égvilágon semmi sem biztosltja ezeknek a közvetett módszereknek a jogosságát. Úgy, ahogyan bizonyos arcok nem jobb-bal szimmetrikusak, lehetséges, hogy a fizika törvényei is különböznek az Univerzum távoli berkeiben, mint ahogyan azt a 14. fejezetben tárgyalni fogjuk.

 

8. Az avatott olvasó felismerheti, hogy ezen állítások az ún. N-2 szuperszimmetriát feltételezik.

 

9. Kissé pontosabban, amennyiben a heterotikus-0 csatolási állandót gH0-ként és az I típusú elméletéét g -ként jelöljük, a két elmélet közötti megfeleltetés kimondja, hogy fizikailag mindaddig azonosak, mlggH0 = l/g, fennáll. Amikor az egyik csatolási állandó nagy, a másik kicsi.

 

10. Ez nagyon hasonlít a korábban tárgyalt R, \/R analógiához. Amennyiben a EB típusú elmélet csatolási állandóját g//B-ként jelöljük, a helyesnek tűnő kijelentés az, hogy gm és l/gIIB ugyanazt a fizikát íija le. Ha gm kicsi, l/g1/B nagy, és fordítva.

 

11. Ha négy dimenzió kivételével az összes többi felcsavarodott, a tizenegynél több dimenziós elméletek szükségszerű velejárójaként olyan tömegnélküli részecskék jelennek meg, melyek spinje 2-nél nagyobb. Ezt azonban mind az elméleti, mind a kísérleti megfontolások kizárják.

 

12. Figyelemreméltó kivétel Duff, Paul Howe, Takeo Inami és Kelley Stelle fontos 1987- es munkája, mely Eric Bergshoeff, Ergin Sezgin és Townsend korábbi meglátásaira építkezve azt hangsúlyozta, hogy a tlzdimenziós húrelméletnek közeli kapcsolatban kell állnia a tizenegy dimenzióssal.

 

13. Pontosabban, ez a diagram a következő módon értelmezendő: egyetlen elméletünk van, mely több paraméter függvénye. A paraméterek között találunk mind csatolási állandókat, mind a pontos geometriai méretet és alakot jellemző mennyiségeket. Elvben, az elméletnek a paraméterek tetszőleges értékei kiszámolására alkalmasnak kellene lennie - a csatolási állandó sajátos értékét és a téridő geometria sajátos alakját is megadnia -, azonban jelenlegi elméleti tudásunk nem engedi ennek megvalósítását. Így az elmélet jobb megértésének céljától vezérelve, a húrelméleti kutatók az elmélet tulajdonságait a paraméterek tetszőleges, széles tartományban változtatott értékei mellett tanulmányozzák. Amennyiben a paraméterek értékei a 12.11 ábra hat félszigetszerű tartományába esnek, az elmélet hasonlatossá válik az öt húrelmélet vagy a tizenegy dimenziós szupergravitációs elmélet egyikéhez. Ha a paraméterek értékei a központi tartományba esnek, a fizikát a rejtélyes M-elmélet íija le.

 

14. Jegyezzük meg, hogy még a félszigetszerű tartományokban is léteznek olyan egzotikus lehetőségek, melyeken keresztül a bránok befolyást gyakorolnak mindennapos fizikánkra. Példaként említsük meg azt az elhangzott javaslatot, melynek értelmében a háromdimenziós kiterjedt terünkre hatalmas, kiterített három-bránként tekinthetnénk. Ha így lenne, minden nap munkába menet ezen a háromdimenziós membránon csúsznánk végig. A lehetőség feltárásának érdekében jelenleg is folynak a kutatások.

 

15. Interjú Edward Wittennel, 1998. május 11.

 

13. fejezet

 

1. A szakavatott olvasó felismerheti, hogy a tükrözési szimmetria során a Calabi-Yau sokaságon összeomló háromdimenziós gömb a tükör Calabi-Yau sokaságon összeomló kétdimenziós gömbbé alakul. Ezzel látszólag visszaérkezünk a 11. fejezetben tárgyalt fbpok tárgyköréhez. A különbség az, hogy az ilyen tükör-újjáfogalmazás az antiszimmetrikus Bp tenzor - a tükör Calabi-Yau tér komplex Káhler-formája valós részének - eltűnéséhez vezet, ami a 11. fejezetben tárgyalt szingularitásnál sokkal drámaibb.

 

2. Pontosabban, az extrém fekete lyukakéra. Ezek olyan fekete lyukak, melyek a hordozott kölcsönhatási töltésekkel még kompatibilis minimális tömeggel rendelkeznek, akár a 12. fejezetben említett BPS-állapotok. Az ehhez hasonló fekete lyukak lényeges szerepet játszanak majd a fekete lyukak entrópiájának tárgyalásában is.

 

3. A fekete lyuk által kibocsátott sugárzásnak a forró sütőből kiáramlóhoz hasonlatosnak kell lennie. (Ez volt a 4. fejezetben tárgyalt, a kvantummechanika megszületésében kulcsszerepet játszó probléma.)

 

4. Kiderül, hogy mivel a térszakító kúpszerű átmenetekben szerepet játszó fekete lyukak extrémek, nem Hawking-sugárzanak, függetlenül attól, hogy mennyire könnyűek.

 

5. Stephen Hawking, az amsterdami Gravitáció, fekete lyukak és húrelmélet szimpóziumon elhangzott előadásában, 1997. június 21.

 

6. Eredeti számolásukban Strominger és Vafa azt találták, hogy a matematika leegyszerűsödik, ha négy helyett öt kiterjedt téridő-dimenzióval számolnak. Meglepő módon, amikor az ötdimenziós fekete lyukak entrópiájával kapcsolatos számolásaikkal elkészültek, rádöbbentek, hogy egyetlen kutató sem talált még ilyen hipotetikus extrém fekete lyukat az ötdimenziós általános relativitáselmélet keretein belül. Mivel az entrópiára kapott eredményüket csupán a számolás és a hipotetikus fekete lyukak eseményhorizontjának területét összehasonlítva ellenőrizhették, Strominger és Vafa nekilátott az ötdimenziós fekete lyukak matematikai megalkotásának. Erőfeszítéseiket siker koronázta. Ezután egyszerű feladatnak bizonyult annak kimutatása, hogy az entrópia mikroszkopikus húrelméleti számolása és Hawking - a fekete lyuk eseményhorizontjának területét felhasználó - módszerének eredménye egybeesnek. Érdemes megjegyezni, hogy mivel a feketelyuk-megoldást csak később találták meg, az entrópiához vezető számolások során Strominger és Vafa nem ismerhette a keresett választ. Munkájukat követően több kutató, Curtis Callan princetoni fizikus vezetésével, sikeresen általánosította az entrópiaszámolásokat megszokottabb, négy téridő-dimen- ziós helyzetekben. Valamennyi eredmény egyezik Hawking jóslatával.

 

7. Interjú Sheldon Glashow-val, 1997. december 29.

 

8. Laplace, Philosophical Essay on Probabilities, fordította Andrew I. Dalé (New York: Springer-Verlag, 1995).

 

9. Stephen Hawking, a Hawking és Roger Penrose, The Nature ofSpace and Time-ban (Princeton: Princeton University Press, 1995), 41. old.

 

10. Stephen Hawking, az amsterdami Gravitáció, fekete lyukak és húrelmélet szimpóziumon elhangzott előadásában, 1997. június 21.

 

11. Interjú Andrew Stromingerrel, 1997. december 29.

 

12. Interjú Cumrun Vafával, 1998. január 12.

 

13. Stephen Hawking, az amsterdami Gravitáció, fekete lyukak és húrelmélet szimpóziumon elhangzott előadásában, 1997. június 21.

 

14. Ez kapcsolatos az információvesztés kérdésével is. Az évek során néhány fizikus azon elmélkedett, hogy létezhet egy központi „rög" a fekete lyuk mélységeibe ágyazottan, mely a lyuk horizontja révén fogságba ejtett anyag által hordozott összes információt tárolná.

 

15. Tulajdonképpen a fejezet során tárgyalt térhasító kúpszerű átmenetek a fekete lyukakkal kapcsolatosak, így a problémafelvetés látszólag hemzseg a szingularitásokkal kapcsolatos gondoktól. Emlékezzünk azonban, hogy a kúpszerű szakadás akkor következik be, amikor a fekete lyuk elvesztette teljes tömegét, így a fekete lyuk szingularitásával a kérdés nem áll közvetlen kapcsolatban.

 

14.fejezet

 

 

1. Pontosabban, az Univerzumot az adott hőmérsékletű tökéletesen elnyelő test - a termodinamika nyelvezetében a „feketetest" - által termikusan kibocsátott fotonok özöne tölti ki. Ezt a sugárzást bocsátja ki klasszikusan mind a fekete lyuk kvantummechanikai- lag, mind a sütő, ahogyan azt Hawking, illetőleg Planck megmagyarázták.

 

2. Bár bizonyos részletek felett nagyvonalúan siklunk tova - melyek a táguló Univerzumban a fény viselkedésével kapcsolatosak, és a számszerű eredményekre befolyást gyakorolnak -, a diszkusszió szelleme mindvégig helyes marad. Sajátos esetben, bár a speciális relativitáselmélet kimondja, hogy semmi sem haladhat fénysebességnél gyorsabban, ez nem záija ki eleve, hogy a táguló tér szövedéke által hordozott két foton ne távolodjék egymástól a fény sebességénél gyorsabban. Például amikor az Univerzum első ízben átláthatóvá vált, 300 000 évvel az Ősrobbanás után, az ég azon részei, melyek egymástól 900 000 fényév távolságra voltak, egymás addigi befolyásolásáról tanúskodtak, annak ellenére, hogy a közöttük lévő távolság meghaladta a 300 000 fényévet. Az extra hármas szorzó a tér szövedékének tágulásából ered. Azaz, a kozmikus film visszafelé pörgetése közben az Ősrobbanás utáni 300 000-edik évhez elérkezve, az ég két pontjának távolsága nem kell 900 000 fényévnél kisebb legyen ahhoz, hogy fennálljon az esély: egymás hőmérsékletére korábban hatást gyakoroltak. A tárgyalt jelenséget numerikusan igen, de alapvetően nem változtatják meg az elhanyagolt részletek.

 

3.  Az inflációs kozmológiai modell és az általa megoldott kérdések részletes és színes tárgyalása Alán Guth, The Inflaáonary Universe (Reading, Mass: Addison-Wesley, 1997) című könyvében található meg.

 

4. A matematikai érdeklődésű olvasó számára megjegyezzük, hogy a következtetés mögött a következő megfontolás húzódik. Amennyiben a két tárgy által végigsepert pályák téridő-dimenzióinak összege nagyobb vagy egyenlő a színpadként szolgáló téridődimenziójánál, várható, hogy találkozni fognak. Például, a pontrészecskék egydimenziós pályát futnak be a téridőben, így a két pálya dimenziószámának összege kettő lesz. Vonalország téridő-dimenzióinak száma szintén kettő, így a pályák találkoznak (leszámítva azt a speciális esetet, amikor a sebességeket úgy finomhangolták, hogy pontosan egyenlőek legyenek). Hasonló eljárással azt találjuk, hogy a húrok téridőben leírt pályája kétdimenziós (világfelületek), azaz két húr esetén a keresett szám négy. Ezért a négy téridő dimenzióban (három tér és egy idő) mozgó húrok általában találkoznak.

 

5. Az M-elmélet felfedezésével és a tizenegyedik dimenzió felismerésével a húrelmélet kutatói éppen csak hogy elkezdhették az olyan hétdimenziós felcsavarodott sokaságok tanulmányozását, melyek a hét dimenziót egyenértékűen kezelik. Az ilyen hétdimenziós sokaságok lehetséges jelöltjei Jqyce-sokaságok néven ismertek, az oxfordi egyetemen dolgozó Domenic Joyce után, akit a matematikai megalkotásukhoz vezető első eljárások megalkotójaként tartanak számon.

 

6. Inteijú Cumrun Vafával, 1998. január 12.

 

7. A szakavatott olvasó észreveheti, hogy tárgyalásunk az ún. húrvonatkoztatási rendszerben zajlik, melyben az Ősrobbanás előtti korszak növekvő görbülete a gravitáció (dilaton-vezérelt) erősségének növekedéséből származik. Az ún. Einstein-rendszerben a fejlődést gyorsuló összehúzódás-fázisként látnánk.

 

8 . Interjú Gábrielé Venezianóval, 1998. május 19.

 

9. Smolin elképzeléseit könyvében ismerteti: The Life ofthe Cosmos (New York: Oxford University Press, 1997).

 

10. A húrelméletben például az eredeti univerzum és ivadéka közötti evolúciót a felcsavarodott dimenziók alakjának kis módosításain keresztül lehet megvalósítani. A térszakító kúpszerű transzformációkkal kapcsolatos eredményeinkből tudjuk, hogy ezen transzformációk elegendően hosszú sora valamely Calabi-Yau sokaságból tetszőleges másikba vezethet, így a multiverzum az összes húrokra épült univerzum szaporodási képességét kipróbálhatja. Miután a multiverzum elegendően sok szaporodási cikluson átesett, Smolin elképzelése szerint a tipikus univerzum Calabi-Yau komponensét maximális termékenység jellemzi.

 

15. fejezet

 

1. Interjú Edward Wittennel, 1998. március 4.

 

2. Az elméleti kutatók némelyike ezt a gondolatot az ún. holografikus elvben látja megvalósulni. Ezt elsőként Susskind és az elismert holland fizikus, Gerard 't Hooft javasolta. Mint ahogyan a hologram alkalmas a speciálisan tervezett kétdimenziós filmből a háromdimenziós kép reprodukálására, Susskind és 't Hooft javaslata szerint az összes általunk tapasztalt fizikai történést talán alacsonyabb dimenzióban értelmezett egyenletek kódolják. Bár ez legalább annyira furcsán hangzik, mint valakinek az arcképét csupán az árnyékképből rajzolni meg, fogalmat alkothatunk jelentéséről és részben megérthetjük Susskind és 't Hooft motivációját a 13. fejezetben tárgyalt fekete lyuk entrópiájára gondolva. Emlékezzünk, hogy a fekete lyuk entrópiáját eseményhorizontjának felülete határozza meg - nem pedig az eseményhorizont által bezárt tértartomány térfogata. így a fekete lyukban a rendetlenséget, azaz a benne tárolt információt a felületbe kódolt kétdimenziós információ hordozza. Ez olyan, mintha a fekete lyuk eseményhorizontjának felülete lenne a fekete lyuk háromdimenziós belsejét jellemző információk hologramja. Susskind és 't Hooft az egész univerzumra általánosították az ötletet. Javaslatuk szerint mindaz, ami az univerzum „belsejében" történik, csupán egy távoli határfelületbe égetett adathalmaz és egyenletek következménye. Nemrég egy harvardi fizikusnak, Jüan Maldacenának, és ezt követő munkáikban Wittennek és a princetoni Steven Gubser, Igor Klebanov és Alexander Poljakov fizikusoknak sikerült kimutatni, hogy bizonyos esetekben legalábbis, a húrelmélet magában foglalja a holografikus elvet. Ajelenleg élénk kutatások tárgyát képező elképzelés szerint az Univerzum fizikáját jellemző húrelméletnek létezik egy ekvivalens leírása, mely csupán bizonyos határfelületen zajló fizikán alapszik - a határfelületnek pedig szükségszerűen kevesebb dimenziója van, mint a közrezárt tartománynak. A húrelmélet néhány kutatója szerint a holografikus elv, valamint a húrelméletben betöltött szerepének teljes megértése vezethet el a harmadik szuperhúr-forradalomhoz.

 

3. Isaac Newton, Sir Isaac Newton's Mathematical Principles ofNatural Phylosophy and His System of the World, fordította A. Motte és Flórian Cajoli (Berkeley: University of California Press, 1962), első kötet, 6. old.

 

4. A lineáris algebrában jártas olvasó számára elmondjuk, hogy a nemkommutatív geometriáról való gondolkodás egyszerű és releváns módja a Descartes-koordináták mátrixokkal való felcserélése. Előbbiek kommutatívok a szorzásra nézve, utóbbiak nem.

 

5. Interjú Cumrun Vafával, 1998. január 12.

 

6. Interjú Edward Wittennel, 1998. május 11.

 

7. Idézte Banesh Hoffman és Helen Dukas, Albert Einstein, Creator and Rebel (New York: Viking, 1972), 18. old.

 

8. Martin J. Klein, „Einstein: The Life and Times, szerzőR.W Clark" (könyvismertetés) Science 174, 1315-16. old.

 

9. Jacob Bronkowski, The Ascent ofMan (Boston: Little, Brown, 1973) 20. old.